O SURGIMENTO DE UMA NOVA GEOMETRIA
Aluna Luciana Magalhães Bastos, Graduanda em Matemática pela FECLESC; e-mail: Lucy.bastos@hotmail.com.
RESUMO
No livro os Elementos, Euclides admite que nem tudo pode ser definido. É necessário que algumas propriedades sejam admitidas sem demonstração, para que sirva de ponto de partida. Euclides designou cinco postulados, dentre os quais o mais polemico foi o quinto que diz: "É verdade que se uma reta ao cortar duas outras, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então as duas retas se continuadas, encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor que dois ângulos retos." Os grandes matemáticos da época acharam que não se tratava de um postulado e que, portanto poderia ser demonstrado. Dois mil anos se passaram ao longo dos quais inúmeras tentativas foram feitas de demonstrar o quinto postulado. Até o surgimento da Geometria Hiperbólica e a verificação de que o quinto postulado não poderia ser demonstrado. Estudaremos o desenvolvimento histórico do surgimento dessa nova Geometria, em particular três grandes matemáticos que chegaram a uma geometria não euclidiana: Gauss, Lobachewsky e Bolyai. O primeiro a entender claramente a possibilidade de uma Geometria logicamente precisa e diferente da de Euclides foi Gauss na segunda década do século XIX, mas nunca publicou nada sobre o assunto. Em 1826 Lobachewsky chegou a conclusões semelhantes a Gauss. E por fim, 1829 Bolyai chegou a resultados parecidos com o dos dois matemáticos supracitados. Essa nova Geometria admite todos os postulados da Geometria Euclidiana, exceto o das paralelas, que é substituído pelo seguinte: "Por um ponto P, fora de uma reta r, passa mais de uma reta paralela a reta r. Alguns teoremas conhecidos da Geometria euclidiana também são válidos nessa Geometria acrescido de muitos outros que são exclusivos da Geometria Hiperbólica.
Palavras Crave: O Quinto Postulado, Demonstração, Geometria Hiperbólica