O presente trabalho trata de um resultado muito interessante no campo da análise real, ou, para ser mais preciso, no campo das funções contínuas. O mesmo tem como objetivo mostrar que, não importa o quanto se procure, nunca encontraremos uma função f(x) definida no conjunto dos números reais e tomando valores neste mesmo conjunto que transforme todo número racional em um número irracional e vice-versa, sendo esta, uma função contínua. Para demonstrar este resultado iremos supor que existe uma função f(x) contínua satisfazendo às condições citadas anteriormente. A partir daí utilizaremos, além de propriedades operacionais entre números racionais e irracionais, uma função auxiliar que definiremos como sendo g(x) = f(x) - x. Analisando pontos genéricos desta ultima função à luz do T.V.I (Teorema do Valor Intermediário), chegaremos a um absurdo, mostrando, assim, que tal função não pode existir.